Question

Задача №2:
Точки К и М середины ребер АВ и CD правильного тетраэдра ABCD. Докажите, что
AB⊥KM и KM⊥CD . Найдите длину КМ, если АВ=а.

Answer 1

Правильный тетраэдр, все грани - равные равносторонние треугольники.

AM и BM - медианы в равносторонних треугольниках со стороной a.

AM =BM =a sin60 =√3/2 a

△AMB - равнобедренный, медиана MK является высотой => MK⊥AB

Аналогично KM⊥CD

△AMB, т Пифагора

AK =AB/2 =1/2 a

KM =√(AM^2-AK^2) =√2/2 a