Question

Вычислить двойной интеграл ydxdy по области D, где D ограничена линиями x=0, y=0, x+y=1

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \iint \limits _{D}\, y\, dx\, dy=\int\limits_0^1\, dx\int\limits_0^{1-x}\, y\, dy=\int\limits_0^1\, dx\Big(\frac{y^2}{2}\Big|_0^{1-x}\Big)=\frac{1}{2}\int\limits_0^1\, (1-x)^2\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-x)^3}{-3}\Big|_0^1=-\frac{1}{6}\cdot \Big(0-1\Big)=\frac{1}{6}$