Question

A(4,3) B(-3,2) C(-4,1)
• рівняння та довжину висоти ;
• рівняння прямої , яка проходить через точку паралельно прямої ;
• рівняння медіани , проведеної через вершину ;
• кут між медіаною і стороною ;
• площу трикутника .

Answer 1

Даны вершины треугольника A(4,3), B(-3,2), C(-4,1).

Найти:

1) рівняння та довжину висоти АК.

Находим уравнение стороны ВС, на которую опущена высота АК.

Вектор ВС = (-4-(-3); 1-2) = (-1; -1), его модуль равен √(1+1) = √2.

Уравнение ВС: (x + 3)/(-1) = (y - 2)/(-1) каноническое.

x+ 3 = y - 2,

x - y + 5 = 0    общее.

У перпендикулярной прямой общего вида Ax + By + C = 0 коэффициенты А и В меняются на -В и А (чтобы скалярное произведение их равнялось нулю).

Получаем x + y + C = 0, для определения слагаемого С подставим координаты точки А:  1*4 + 3 + С = 0, отсюда С = -4 - 3 = -7.

Тогда уравнение высоты АК: х + у - 7 = 0.

Длину высоты AK можно определить двумя способами: по формуле

h = 2S/BC или определением точки К.

Вектор ВА = (4-(-3); 3-2) = (7; 1), модуль равен √50 = 5√2.

Векторное произведение ВС на ВА равно:

i        j        k|       i        j

-1     -1        0|      -1       -1

7      1        0|       7       1 = 0i + 0j - 1k - 0j - 0i + 7k = 6k.

Площадь S = 1/2)|BCxBA) = (1/2)+6 = 3.

Отсюда находим АК = 2*3/√2 = 3√2 ≈ 4,2426.

2) рівняння прямої, яка проходить через точку А параллельно прямой ВС.

Направляющий вектор этой прямой равен направляющему вектору прямой ВС.

(x - 4)/(-1) = (y - 3)/(-1).

3) рівняння медіани АМ , проведеної через вершину А;

Находим координаты точки М как середину стороны ВС.

М(-3-4)/2; (2+1)/2) = (-3,5; 1,5).

Вектор АМ  = (-3,5-4; 1,5-3) = (-7,5; -1,5),

модуль равен √58,5 ≈ 7,6485.

Уравнение АМ: (x - 4)/(-7.5) = (y - 3)/(-1.5) каноническое.

                           x - 5y + 11 = 0 общее.

4) кут між медіаною АМ і стороною АВ; вектор АВ = (-7; -1).

cos(AM_AB) = (-7,5*(-7)+(-1,5)*(-1)/(√58,5*5√2) = 54/54,08327 = 0,99846.

Угол равен 3,17983 градуса.

5) площу трикутника (найдена в пункте 1) S = 3.