Question

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решить задачу Коши.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x^2y'=xy+y^2\, e^{-\frac{x}{y}}\ \ ,\ \ \ \ y(1)=-1\\\\y'=\frac{y}{x}+\Big(\frac{y}{x}\Big)^2\cdot e^{-\frac{x}{y}}\ \ \ ,\ \ \ \ t=\frac{y}{x}\ \ ,\ \ y=tx\ \ ,\ \ y'=t'x+t\\\\\\t'x+t=t+t^2e^{-1/t}\ \ ,\ \ \ t'x=t^2\, e^{-1/t}\ \ ,\ \ \ \frac{dt}{dx}\cdot x=t^2\, e^{-1/t}\ \ ,\ \ \ \int \frac{dt}{t^2\, e^{-1/t}}=\int \frac{dx}{x}\\\\\\\int \frac{e^{1/t}\, dt}{t^2}=\Big[\ u=\frac{1}{t}\ ,\ du=-\frac{dt}{t^2}\ \Big]=-\int e^{u}\, du=-e^{u}+C_1=e^{1/t}+C_1$

$e^{1/t}=ln|x|+lnC\ \ ,\ \ \ e^{\frac{x}{y}}=ln\, Cx\ \ ,\ \ \ \dfrac{x}{y}=ln(lnCx)\ \ ,\ \ \boxed{\ y=\dfrac{x}{ln(lnCx)}\ }\\\\\\y(1)=-1:\ \ -1=\dfrac{1}{ln(lnC)}\ \ ,\ \ ln(lnC)=-1\ \ ,\ \ lnC=\frac{1}{e}\ \ ,\ \ C=e^{1/e}\\\\\\\boxed{\ y=\dfrac{x}{ln(ln(e^{1/e}\cdot x))}\ }\ -\ chastnoe\ reshenie$