Докажите, что ABCD — квадрат, если
А(–2; –3; 5), В(0; 2; –9), С(10; 12; –4),
D(8; 7; 10).
Ответы
Чтобы доказать что АВСD - квадрат, достаточно показать, что:
1. Противоположные стороны параллельны
2. Все стороны равны.
3. Угол между хотя бы двумя смежными сторонами - прямой
1. Найдем векторы АВ, ВС, СD, DA
АВ (3 - 1 = 2, -5+2 = -3, 2+4=6) = (2, -3, 6)
BC(6-3=3, 1+5=6, 4-2=2) = (3, 6, 2)
CD(-2, 3, -6)
DA(-3, -6, -2)
2. Проверим АВ || CD и BC || AD. Для этого воспользуемся тем, что координаты параллельных векторов пропорциональны.
2/-2 = -3/3 = 6/-6 = -1 -> АВ || CD
3/-3 = 6/-6 = 2/-2 = -1 -> BC || AD
3. Проверим АВ = ВС = СD = DA
AB = sqrt(4 + 9 + 36) = sqrt(49) = 7
CD = sqrt(4 + 9 + 36) = 7
BC = sqrt(9 + 36 + 4) = 7
DA = sqrt(9 + 36 + 4) = 7
4. Проверим перпендикулярность хотя бы одного угла с помощью скалярного произведения векторов:
(AB,BC) = 2*3 - 3*6 + 6*2 = 0 -> АВ перпендикулярен BC
Ч. Т. Д.