Question

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решить задачу Коши.

Answer 1

Ответ:

$x\displaystyle \cdot cos\frac{y}{x}\, dy+(x-y\, cos \frac{y}{x})\, dx=0\ \ ,\ \ y(1)=\pi \\\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{-x+y\, cos\frac{y}{x}}{x\cdot cos\frac{y}{x}}\ \ ,\ \ \ \ \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{cos\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}\ \ ,\\\\\\t=\frac{y}{x}\ \ ,\ \ y=tx\ \ ,\ \ y'=t'x+t\\\\\\t'x+t=-\frac{1}{cost}+t\ \ ,\ \ \ t'x=-\frac{1}{cost}\ \ ,\ \ \ \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{x\, cost}\ \ ,\ \ \ cost\, dt=-\frac{dx}{x}\\\\\\\int cost\, dt=-\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ \ sint=-ln|x|-lnC\ \ ,\ \ sint=ln\, \frac{1}{Cx}$

$sin\dfrac{y}{x}=ln\dfrac{1}{Cx}\ \ ,\ \ \dfrac{y}{x}=arcsin\Big(ln\dfrac{1}{Cx}\Big)\ \ ,\ \ \ \boxed{\ y=x\cdot arcsin\Big(ln\dfrac{1}{Cx}\Big)\ }\\\\\\y(1)=\pi :\ y(1)=arcsin\Big(ln\dfrac{1}{C}\Big)\ \ ,\ \ \pi =arcsin\Big(ln\dfrac{1}{C}\Big)\ \ ,\ \ sin\pi =ln\dfrac{1}{C}\ \ ,\\\\\\\dfrac{1}{C}=e^{sin\pi }\ \ ,\ \ \dfrac{1}{C}=e^0\ \ ,\ \ \dfrac{1}{C}=1\ \ ,\ \ C=1\\\\\\ \boxed{\ y=x\cdot arcsin\Big(ln\dfrac{1}{x}\Big)\ }\ -\ chastnoe\ reshenie$