Question

Вычислить определенный интеграл методом подстановки:

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \displaystyle \int\limits_1^2\, \frac{dx}{\sqrt{5x-1}}=\Big[\ u=5x-1\ ,\ du=5\, dx\ \Big]=\frac{1}{5}\int\limits_4^9\, \frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{5}\cdot 2\sqrt{u}\Big|_4^9=\\\\\\=\frac{2}{5}\cdot (\sqrt9-\sqrt4)=\frac{2}{5}\cdot (3-2)=\frac{2}{5}$

$2)\ \ \displaystyle \int\limits_0^{2\pi /3}\, cos\frac{x}{2}\, dx=\Big[\ u=\frac{x}{2}\ ,\ du=\frac{dx}{2}\ \Big]=2\int \limits_0^{\pi /3}\, cos\, u\cdot du=\\\\\\=2\cdot sin\, u\Big|_0^{\pi /3}=2\cdot \Big(sin\frac{\pi}{3}-sin0\Big)=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$