Question

Выш.мат, помогите с решением

Y'=ln(2x-3+√(4x^2-12x+10))-√(4x^2-12x+10)arctg(2x-3)

Answer 1

$y = ln(2x - 3 + \sqrt{4x^2 - 12x + 10}) - \sqrt{4x^2 - 12x + 10} * arctg(2x - 3) =$

$= ln(2x - 3 + \sqrt{(2x - 3)^{2} + 1}) - \sqrt{(2x - 3)^{2} + 1} * arctg(2x - 3)$

Замена: 2x - 3 = t

$y = ln(t + \sqrt{t^{2} + 1}) - \sqrt{t^{2} + 1} * arctg(t)$

$y' = (ln(t + \sqrt{t^{2} + 1}))' - (\sqrt{t^{2} + 1} * arctg(t))'$

Первое выражение - это интеграл от  $\frac{1}{\sqrt{t^{2} + 1}}$, также известный как "длинный логарифм". Здесь не хватает модуля, но он и не нужен, ведь при любом значении t выполняется неравенство $\sqrt{t^2 + 1} > t$. В общем, производная равна $\frac{1}{\sqrt{t^{2} + 1}}$

Второе выражение распишем по формуле производной произведения:

(uv)' = u'v + uv'

$(\sqrt{t^{2} + 1} * arctg(t))' = (\sqrt{t^{2} + 1})'*arctg(t) + \sqrt{t^{2} + 1}*(arctg(t))' =$

$= \frac{1}{2\sqrt{t^{2} + 1}} * 2t*arctg(t) + \sqrt{t^{2} + 1}} * \frac{1}{t^{2} + 1}$

Итого получаем:

$y' = \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 1}} - \frac{t*arctg(t)}{\sqrt{t^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{t^{2} + 1}}} = - \frac{t*arctg(t)}{\sqrt{t^{2} + 1}} = -\frac{(2x-3)*arctg(2x - 3)}{\sqrt{(2x-3)^{2} + 1}}$