Question

Помогите пожалуйста решить неравенство с помощью рационализации
logx^2(x-2)^2>=1

Answer 1

Ответ:

ОДЗ:

{x/2 > 0, x/2≠1 ⇒ x > 0; x≠2

{x2–2x+1 > 0 ⇒ x≠1

ОДЗ: х ∈ (0; 1) U (1;2) U (2;+ ∞)

Перепишем неравенство в виде:

logx/2 (x2–2x+1) ≥ logx/2 (x/2)2

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств (см. таблицу):

((x/2)–1)·(x2–2x+1–(x/2)2) ≥ 0;

(x–1)·(3x2–8x+4)/8 ≥ 0

3х2–8x+4=0

D=64–4·3·4=16

x=(8–4)/6=2/3 или х=(8+4)/6=2

(х–(2/3))(x–2)2/8 ≥ 0

Учитывая ОДЗ получаем ответ:

(0)_–__ [2/3] __+__ (1) ___+__ (2) __+___

x∈[2/3;1)U(1;2)U(2;+ ∞)