Question

В сосуд, имеющий форму прямого кругового конуса, наливают воду. Если сосуд установлен <<острым>> концом вниз, то расстояние от уровня воды до плоскости основания конуса равно 1 м. Когда сосуд перевернули, оказалось, что расстояние от уровня воды до <<острого>> конца сосуда равно кубический корень из 28 м. Найдите высоту сосуда, ответ дайте в метрах, при необходимости округлив до сотых.

Answer 1

Ответ:

$h}\approx 3,54$ м

Пошаговое объяснение:

Введем обозначения:

R - радиус основания конуса,

h - высота конуса,

r₁ - радиус сечения (поверхности воды) для конуса в первом случае,

r₂ - радиус сечения (поверхности воды) для конуса во втором случае.

1. Конус установлен "острым" концом вниз.

Объем воды:

$V=\dfrac{1}{3}\pi r_1^2\cdot AO_1$

AO₁ = h - 1

Из подобных прямоугольных треугольников АВС и АН₁О₁:

$\dfrac{r_1}{R}=\dfrac{h-1}{h}$     ⇒      $r_1=\dfrac{R(h-1)}{h}$

$V=\dfrac{1}{3}\pi\dfrac{R^2(h-1)^2}{h^2}\cdot (h-1)$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot \dfrac{(h-1)^3}{h^2}$

2. Конус установлен "острым" концом вверх.

Объем воды:

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h-\dfrac{1}{3}\pi r_2^2\cdot \sqrt[3]{28}$

Из подобных прямоугольных треугольников АВС и АН₂О₂:

$\dfrac{r_2}{R}=\dfrac{\sqrt[3]{28}}{h}$       ⇒     $r_2=\dfrac{R\sqrt[3]{28}}{h}$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h-\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{R^2\left(\sqrt[3]{28}\right)^2}{h^2}\cdot \sqrt[3]{28}$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h-\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{R^2 \cdot 28}{h^2}$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2\left(h-\dfrac{28}{h^2}}\right)$

$V=\dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot \dfrac{h^3-28}{h^2}$

Объем воды одинаков, получаем уравнение:

$\dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot \dfrac{(h-1)^3}{h^2}=\dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot \dfrac{h^3-28}{h^2}$

$\dfrac{(h-1)^3}{h^2}= \dfrac{h^3-28}{h^2}$

$(h-1)^3=h^3-28$

$h^3-3h^2+3h-1=h^3-28$

$3h^2-3h-27=0$

$h^2-h-9=0$

$D=1+36=37$

$h=\dfrac{1\pm \sqrt{37}}{2}$   (второй корень не подходит)

$h=\dfrac{1+ \sqrt{37}}{2}\approx 3,54$  м