Question

Сколько всего натуральных четырехзначных чисел состоящих только из не нулевых цифр ; у которых сумма цифр равна 14 .

Answer 1

Изначально у нас имеется 14 единичек, которые нужно распределить по четырем местам (цифрам числа), причем на каждое место должно попасть от 1 до 9 единичек:

$\underset{14}{\underbrace{\boxed{1\ldots9}\ \boxed{1\ldots9}\ \boxed{1\ldots9}\ \boxed{1\ldots9}}}$

Каждой цифре выделим по 1 единичке, тогда останется всего 10 единичек к распределению. Причем, на каждое из мест теперь может попасть от 0 до 8 единичек:

$\underset{10}{\underbrace{\boxed{0\ldots8}\ \boxed{0\ldots8}\ \boxed{0\ldots8}\ \boxed{0\ldots8} }}$

Решим упрощенную задачу. Пусть на каждое место может попасть любое количество единичек, включая и 0 (то есть пока мы не рассматриваем верхнюю границу). Тогда, число способов распределить единички равно следующему числу сочетаний с повторениями (для каждой из 10 единичек есть 4 варианта выбора цифры, куда ее отнесем):

$\overline{C_4^{10}}=C_{4+10-1}^{10}=C_{13}^{10}=C_{13}^{13-10}=C_{13}^3=\dfrac{13\cdot12\cdot11}{1\cdot2\cdot3} =286$

Однако, среди найденных вариантов есть некоторые недопустимые. Недопустимыми будут варианты, содержащие на каком-либо месте число, большее 8. Учитывая, что всего распределялось 10 единичек, все недопустимые варианты можно разбить на две группы.

1. Варианты, в которых на одно из мест попало число 10. Заметим, что в этом случае все остальные места занимает число 0. Значит, число таких недопустимых вариантов совпадает с числом мест, куда могло попасть число 10. А число 10 могло попасть на любое из 4 мест. Значит, всего таких недопустимых вариантов 4.

2. Варианты, в которых на одно из мест попало число 9. Заметим, что в этом случае одно из оставшихся мест займет число 1, а два оставшихся места - число 0. Число таких недопустимых вариантов можно рассчитать как число перестановок из 4 элементов с учетом того, что два из них (нули) повторяются:

$P_4^2=\dfrac{4!}{2!} =\dfrac{24}{2} =12$

Тогда, допустимых вариантов имеется:

$286-4-12=270$

Ответ: 270