АА1, ВВ1, СС1 - высоты остроугольного треугольника АВС. Найдите величину наименьшего угла треугольника АВС, если в треугольнике А1В1С1 углы равны 46, 58, 76 градусам
Ответы
Обозначим точку пересечения высот как О.
Треугольник, вершины которого являются основаниями высот другого треугольника, называется ортотреугольником.
Высоты в остроугольном треугольнике — это биссектрисы углов его ортотреугольника (то есть они делят эти углы пополам).
Значит, ∠A₁B₁O = ∠C₁B₁O = ∠A₁B₁C₁ : 2 = 46 : 2 = 23°.
∠ OB₁A = 90° (так как BB1 — высота) = ∠C₁B₁O + ∠C₁B₁A.
Отсюда, ∠C₁B₁A = 90 - ∠C₁B₁O = 90 - 23 = 67°.
_______
∠B₁C₁O = ∠A₁C₁O = ∠B₁C₁A₁ : 2 = 58 : 2 = 29°.
∠OC₁A = 90° (так как CC₁ — высота) = ∠B₁C₁O + ∠AC₁B₁.
Отсюда, ∠AC₁B₁ = 90 - ∠B₁C₁O = 90 - 29 = 61°.
_______
Рассмотрим треугольник B₁AC₁ (тот, который отсекает сторона ортотреугольника B₁C₁)
По теореме о сумме углов треугольника, ∠C₁B₁A + ∠AC₁B₁ + ∠B₁AC₁= 180°.
Значит, ∠B₁AC₁= 180 - (∠C₁B₁A + ∠AC₁B₁ ) = 180 - (67 + 61) = 52°.
______
То есть величина ∠CAB в нашем △ АВС составляет 52°.
Этот угол и будет наименьший угол △АВС, потому что 46° и 58° — это наименьшие углы ортотреугольника. Значит, вычитая их половинки из 90, мы получаем наибольшие варианты двух углов треугольника, отсеченного стороной ортотреугольника, и значит, при вычитании их суммы из 180 получится наименьший вариант третьего (нашего) угла.
Можно проверить, найдя остальные два угла △ АВС аналогичным способом:
∠BCA = 61°;
∠ABC = 67°.
______
Ответ: 52°.
