Question

Найти наклонную асимптоту.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y^3=(x+1)^2(x+2)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y=\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}\\\\y=kx+b\ -\ naklonnaya\ asimptota\\\\k=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{y(x)}{x}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}}{x}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \sqrt[3]{\frac{(x+1)^2(x+2)}{x^3}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \sqrt[3]{\frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3}}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \sqrt[3]{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{2}{x^3}}=\sqrt[3]{1+0}=1$

$\displaystyle b=\lim\limits_{n \to \infty}\, (y(x)-kx)=\lim\limits_{n \to \infty}\, \Big(\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}-x\Big)=[\ \infty -\infty \ ]\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{(\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}-x)(\sqrt[3]{(x+1)^4(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}\cdot x+x^2)}{\sqrt[3]{(x+1)^4(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}\cdot x+x^2}=$

$\displaystyle =\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{(x+1)^2(x+1)-x^3}{(\sqrt[3]{(x+1)^4(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}\cdot x+x^2}=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{4x^2+5x+2}{(\sqrt[3]{(x+1)^4(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)}\cdot x+x^2}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{4x^2}{x^2+x^2+x^2}=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{4x^2}{3x^2}=\frac{4}{3}\\\\\\y=x+\frac{4}{3}\ \ asimptota$