Question

Найти общее или частичное решение диф. уравнения
$yy''=y'^2$

Answer 1

$y\cdot y''=\left(y'\right)^2$

Произведём замену $y'=z(y)$. Производную по $y$ будем обозначать через точку.

Так, $y''=\big(z(y)\big)'=\dot{z}\cdot y'=\dot{z}\cdot z$.

Итого,

$y\cdot \dot{z} z=z^2\iff z\cdot(\dot{z} y - z)=0$

1) Разбираемся с первым множителем

$z=0\iff y'=0\iff y=C$

2) Со вторым

$\dot{z} y-z = 0\,,\\[2ex]\dfrac{\mathrm{d} z}{z}=\dfrac{\mathrm{d}y}{y}\,,\\[2ex] z=Cy\,,\\[2ex] y'=Cy\,,\\[2ex]\dfrac{\mathrm{d}y}{y}=C\,\mathrm{d}x\,,\\[2ex] y=Be^{Cx}$

3) Видно, что первое множество решений $y=C$ содержится во множестве $y=Be^{Cx}$ (константы, естественно, не обязательно равны, просто одинаково обозначили). Значит, общим решением исходного уравнения будет являться последний вариант.

Ответ. $y(x)=Be^{Cx}\,,\quad\left\{B,\,C\right\}\subset\mathbb{R}$