Question

Найти общее или частичное решение диф. уравнения. 85 баллов.
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x^2$

Answer 1

$y'(x)-\dfrac{y}{x}=x^2$

Это неоднородное линейное диф. уравнение. Общее решение его есть сумма решений общего однородного и частного неоднородного диф. уравнений.

1) Решим соответствующее однородное диф. уравнение

$\begin{aligned}&y'_0(x)-\dfrac{y_0}{x}=0\,, \\[5pt] &\int\frac{\mathrm{d}y_0}{y_0}=\int\frac{\mathrm{d}x}{x}\,, \\[5pt] &\ln|y_0|=\ln|x|+\widetilde{C}\,,\\[5pt]&\boxed{y_0(x)=Cx}\end{aligned}$

2) Будем искать частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянной

$\begin{aligned}&y_\text{p}(x)=C(x)\cdot x \\[5pt] &y'_\text{p}(x)-\dfrac{y_\text{p}}{x}=x^2\\[5pt] &C'(x)x+C(x)-C(x)=x^2\\[5pt]&C'(x)=x\implies C(x)=\dfrac{x^2}{2}\\[5pt]&\boxed{y_\text{p}(x)=\dfrac{x^3}{2}}\end{aligned}$

Константу интегрирования не учитывали, поскольку ищем какое-нибудь решение неоднородного диф. уравнения.

3) Записываем общее решение неоднородного диф. ур-я.

$y(x)=y_0(x)+y_\text{p}(x)\\[5pt]\boxed{y(x)=Cx+\dfrac{x^3}{2},\quad C\in\mathbb{R}}$

Ответ. $y(x)=Cx+\dfrac{x^3}{2},\quad C\in\mathbb{R}$