Question

Найти частные производные второго порядка: 25 баллов!

1)z=x³+xy²+6xy

2)z=(x²+y²)^4+5

3)z=e* x/2(x+y²)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1.

$\displaystyle z=x^3+xy^2+6xy$

Найдем частные производные первого порядка:

$\displaystyle z'_x=\frac{dz}{dx} =3x^2+y^2+6y\\\\z'_y=\frac{dz}{dy} =x*2y+6x=2xy+6x$

Найдем частные производные второго порядка:

$\displaystyle z''_{xx}=\frac{d^2z}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dz}{dx}\right) \\\\ z''_{yy}=\frac{d^2z}{dy^2}=\frac{d}{dy}\left(\frac{dz}{dy}\right) \\\\ z''_{xy}=\frac{d^2z}{dydx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dz}{dy}\right) \\\\ z''_{yx}=\frac{d^2z}{dxdy}=\frac{d}{dy}\left(\frac{dz}{dx}\right)$

$\displaystyle z''_{xx}=6x\\\\z''_{yy}=2x\\\\z''_{xy}=2y+6\\\\z''_{yx}=2y+6$

2.

$\displaystyle z=(x^2+y^2)^4+5$

Найдем частные производные первого порядка:

$\displaystyle z'_x=4(x^2+y^2)^3*2x=8x(x^2+y^2)^3\\\\z'_y=4(x^2+y^2)^3*2y=8y(x^2+y^2)^3$

Найдем частные производные второго порядка:

$z''_{xx}=8(x^2+y^2)^3+8x*3(x^2+y^2)^2*2x=(x^2+y^2)^2(8x^2+8y^2+48x^2)=\\=8(x^2+y^2)^2(7x^2+y^2)$

$\displaystyle z''_{yy}=8(x^2+y^2)^3+8y*3(x^2+y^2)^2*2y=(x^2+y^2)^2(8x^2+8y^2+48y^2)=\\=8(x^2+y^2)^2(x^2+7y^2)$

$\displaystyle z''_{xy}=8x*3(x^2+y^2)^2*2y=48xy(x^2+y^2)^2\\\\z''_{yx}=8y*3(x^2+y^2)^2*2x=48xy(x^2+y^2)^2$

3.

$\displaystyle z=\frac{ex}{2(x+y^2)}=\frac{e}{2}*\frac{x}{x+y^2}$

Найдем частные производные первого порядка:

$\displaystyle z'_x=\frac{e}{2}*\frac{1*(x+y^2)-x*1}{(x+y^2)^2} =\\\\ =\frac{e}{2} *\frac{y^2}{(x+y^2)^2}$

$\displaystyle z'_y=\frac{e}{2}*\left(-\frac{x*2y}{(x+y^2)^2} \right) =-\frac{exy}{(x+y^2)^2}$

Найдем частные производные второго порядка:

$\displaystyle z''_{xx}=\frac{e}{2}*\left(-\frac{y^2*2(x+y^2)}{(x+y^2)^4} \right)=-\frac{ey^2}{(x+y^2)^4}$

$\displaystyle z''_{yy}=-\frac{ex(x+y^2)^2-exy*2(x+y^2)*2y}{(x+y^2)^4} =\\\\=-\frac{ex(x+y^2-4y^2)}{(x+y^2)^3} =-\frac{ex(x-3y^2)}{(x+y^2)^3}$

$\displaystyle z''_{xy}=\frac{e}{2} *\frac{2y*(x+y^2)^2-y^2*2(x+y^2)*2y}{(x+y^2)^4} =\\\\=\frac{e}{2}*\frac{2y(x+y^2)(x+y^2-2y^2)}{(x+y^2)^4} =\frac{ey(x-y^2)}{(x+y^2)^3}$

$\displaystyle z''_{yx}=-\frac{ey(x+y^2)^2-exy*2(x+y^2)}{(x+y^2)^4} =\\\\=-\frac{ey(x+2y^2)(x+y^2-2x)}{(x+y^2)^4} =-\frac{ey(y^2-x)}{(x+y^2)^3} =\\\\\\=\frac{ey(x-y^2)}{(x+y^2)^3}$