Question

Срочно, помогите решить уравнение

Answer 1

Объяснение:

$(\sqrt[5]{7+4\sqrt{3}})^x+(\sqrt[5]{7-4\sqrt{3}} )^x=194.\\ (7+4\sqrt{3})^\frac{x}{5} +(7-4\sqrt{3} )^\frac{x}{5} =194.$

Пусть:

$(7+4\sqrt{3})^\frac{x}{5} =t\ \ \ \ \Rightarrow\\7+4\sqrt{3}= (\frac{(7+4\sqrt{3} )(7-4\sqrt{3}) }{7-4\sqrt{3} } =\frac{7^2-(4\sqrt{3})^2 }{7-4\sqrt{3} } =\frac{49-48}{7-4\sqrt{3} }=\frac{1}{7-4\sqrt{3} }.\ \ \ \ \Rightarrow\\7-4\sqrt{3}=(7+4\sqrt{3})^{-1 }.\\(7-4\sqrt{3})^\frac{x}{5} =(7+4\sqrt{3})^{-\frac{x}{5}}=t^{-1}=\frac{1}{t}.\ \ \ \ \Rightarrow\\t+\frac{1}{t}=194.\\t^2-194t+1=0\\D=37632\ \ \ \sqrt{D}=112\sqrt{3}$

$t_1=97+56\sqrt{3} =49+2*7*4\sqrt{3}+48=7^2+2*7*4\sqrt{3}+(4\sqrt{3})^2=(7+4\sqrt{3})^2. \\(7+4\sqrt{3})^2=(7+4\sqrt{3})^\frac{x}{5} \\\frac{x}{5} =2\ |*5\\x_1=10 .\\ t_1=97-56\sqrt{3} =49-2*7*4\sqrt{3}+48=7^2-2*7*4\sqrt{3}+(4\sqrt{3})^2=\\\=(7-4\sqrt{3})^2=(7+4\sqrt{3} )^{-2}.\\(7+4\sqrt{3})^{-2}=(7+4\sqrt{3})^\frac{x}{5} \\\frac{x}{5}=-2\ |*5\\x_2=-10.$

Ответ: x₁=10,  x₂=-10.