В правильной четырехугольной пирамиде сумма бокового ребра и высоты равна А. в пирамиде, имеющей наибольший объем, найдите угол между апофемой и плоскостью основания.
буду очень благодарен, завтра сдавать а сами не понимаем
Ответы
Дано: в правильной четырехугольной пирамиде сумма бокового ребра и высоты равна А.
Найти угол между апофемой и плоскостью основания в пирамиде, имеющей наибольший объем.
Пусть боковое ребро равно L, высота равна Н = А - L.
Их соединяет половина диагонали основания, равная (а√2/2).
По Пифагору (а√2/2)² = L² - H² = L² - (A - L)² = L² - A² +2AL - L² = 2AL - A².
a² *2/4 = 2AL - A².
Отсюда можно получить площадь So основания, выраженную через одну переменную L:
So = a² = (2AL - A²)/(2/4) = 2(2AL -A²) = 4AL - 2A².
Объём пирамиды равен:
V = (1/3)SoH = (1/3)(4AL - 2A²)(A - L) = (4/3)A²L - (2/3)A³ - (4/3)AL² + (2/3)A²L = -(4/3)AL² + 2A²L - (2/3)A³.
Найдена функция зависимости объёма пирамиды от длины L бокового ребра при константе A.
График этой функции - парабола ветвями вниз (коэффициент при квадрате переменной отрицателен).
Максимум такой функции находится в её вершине, абсцисса равна хо = -b/2a.
Находим значение переменной L в точке максимума.
Lo = -2A²/(2*(-(4/3)A)) = (3/4)A.
Подставим это значение в уравнение объёма пирамиды.
V = -(4/3)A((3/4)A)² + 2A²(3/4)A) - (2/3)A³ = (-A³/4) + (3/2)A³ - (2/3)A³ = A³/12.
Угол α между апофемой и плоскостью основания можно выразить двумя способами.
α = arctg(H/(a/2)) или α = arcsin(H/Ап), где Ап это апофема.
Высота Н = А - L = А - (3/4)А = (1/4)А.
а = √(4AL - 2A²) = √(4A(3/4)A - 2A²) = A.
tg α = (1/4)А/(A/2) = 1/2.
Ответ: a = arctg(1/2) = 0,4636 радиан или 26,565 градуса.