Question

решите  уравнение:
y′-y/x=xe^x, y(1)=e

Answer 1

Умножим левую и правую часть уравнения на $mu (x)$, которое вычисляется таким образом:

$mu(x)=e^big{int-frac{dx}{x}}=e^big{-ln x}=e^big{lnfrac{1}{x}}=dfrac{1}{x}$

Имеем:

$dfrac{1}{x}cdot dfrac{dy}{dx}-dfrac{y}{x^2}=e^x$

Заметим, что $-dfrac{1}{x^2}=dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{x}right)$, получаем

$dfrac{1}{x}cdotdfrac{dy}{dx}+dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{x}right)cdot y=e^x$

Воспользуемся тем, что левая часть уравнения - это дифференциал произведения двух функций.

$dfrac{d}{dx}left(dfrac{y}{x}right)=e^x~~~Longleftrightarrow~~~ displaystyle intdfrac{d}{dx}left(dfrac{y}{x}right)dx=int e^xdx~~~Longleftrightarrow~~~ dfrac{y}{x}=e^x+C\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~boxed{boldsymbol{ y=xe^x+Cx}}$

Нашли общее решение линейного неоднородного уравнения.

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия.

$e=e+C\ C=0$

Получим частное решение задачи Коши: $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~boldsymbol{y=xe^x}$