На столе лежит куча из 2021 камней. Из нее выбрасывают один камень и делят кучу на две (не обязательно равные) части. Затем из любой кучи, содержащей более двух камней, снова выбрасывают один камень и делят ее на две части и т.д. Можно ли через несколько ходов добиться того, чтобы во всех кучах, лежащих на столе, было ровно по 4 камней?
Ответы
Ответ:
Нет, нельзя
Пошаговое объяснение:
1. Все кучи из 4-х камней можно получить только если последнее разделение дало 2 кучи по 4 (тк. при каком-либо ином разделении будет куча, в которой не 4 камня, а значит условие не выполнено). А это можно сделать только с кучей из 9 камней.
- куча из 9 камней - отбрасываем 1 камень,
оставшиеся 9-1=8 делим на 2 кучи по 4 камня,
(4 + 4)в кучах + 1(отброш) = 9
(Таких куч по 9 может быть несколько - для удобства будем считать все разделения куч 9 камней одной финальной операцией.)
2. Следовательно, предыдущей операцией нужно добиться того, чтобы остались кучи из 9+9, либо 9+4 камня. Это можно сделать только из куч либо 14, либо 19 камней:
а) если камней 14 - отбрасываем 1 камень,
оставшиеся 14-1=13 делим на кучи по 9 и 4 камня,
(9 + 4)в кучах + 1(отброш) = 14
б) если камней 19 - отбрасываем 1 камень,
оставшиеся 19-1=18 делим на 2 кучи по 9 камней,
(9 +9)в кучах + 1(отброш) = 19
3. А кучи в 14 или 19 можно получить только из куч
в 19 (14+4+1)
в 24 (19+4+1)
в 29 (19+9+1)
в 34 (19+14+1)
...
и т.д.
Итог. Как мы видим, подобное разделение всегда оперирует кучами из камней, число которых оканчивается либо на 4, либо на 9. Соответственно, в исходной куче тоже должно быть число камней, оканчивающееся либо на 4, либо на 9. Однако 2021 оканчивается на 1 и поэтому не может быть разделено требуемым способом на кучи из 4 камней, вне зависимости от количества "ходов".
Следовательно вариант, указанный в условиях задачи, невозможен