Question

ПОМОГИТЕЕЕ Пределы не пойму как решать. Переменные a, n, m - неизвестные, с ними нужно возится до конца

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle 1)\ \ \lim\limits _{h \to 0}\, \frac{sin(a+2h)-2sin(a+h)+sina}{h^2}=\\\\\\=\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{(sin(a+2h)+sina)-2sin(a+h)}{h^2}=\\\\\\=\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{2sin\dfrac{2a+2h}{2}\cdot cos\dfrac{2h}{2}-2sin(a+h)}{h^2}=\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{2sin(a+h)\cdot cosh-2sin(a+h)}{h^2}=\\\\\\=\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{-2sin(a+h)\cdot (1-cosh)}{h^2}=\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{-2sin(a+h)\cdot 2sin^2\dfrac{h}{2}}{h^2}=$

$\displaystyle =\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{-2sin(a+h)\cdot 2\cdot \Big(\dfrac{h}{2}\Big)^2}{h^2}=\lim\limits _{h \to 0}\, \frac{-4\, sin(a+h)\cdot h^2}{4\cdot h^2}=\\\\\\=-\lim\limits _{h \to 0}\, sin(a+h)=\boxed{-sina\ }\\\\\\\\\star \ \ sinx+siny=2\, sin\frac{x+y}{2}\cdot cos\frac{x-y}{2}\ \ \star \\\\\star \ \ sin\, \alpha(x)\sim \ \alpha (x)\ ,\ esli\ \alpha (x)\to 0\ \ \star$

$\displaystyle 2)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\, \frac{tg(mx)}{sin(nx)}=\Big[\ tg(mx)\sim (nx)\ ,\ \ sin(nx)\sim (nx)\ \ ,\ x\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\, \frac{mx}{nx}=\lim\limits _{x \to 0}\, \frac{m}{n}=\boxed{\ \frac{m}{n}\ }$

$\displaystyle 3)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\, \frac{x^2\cdot ctg2x}{sin3x}=\lim\limits _{x \to 0}\, \frac{x^2}{tg2x\cdot sin3x}=\Big[\ tg2x\sim 2x\ ,\ sin3x\sim 3x\ ,\ x\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\, \frac{x^2}{2x\cdot 3x}=\lim\limits _{x \to 0}\, \frac{x^2}{6x^2}=\lim\limits _{x \to 0}\, \frac{1}{6}=\boxed{\ \frac{1}{6}\ }$