Question

Помогите. Доказать, что функция f(x) и g(x) при x->0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.
f(x) = sin*3x - sin*x
g(x) = 5x
и можно с объяснением пожалуйста.

Answer 1

Функции будут одного порядка малости если предел их отношения конечен и отличен от нуля. Здесь все сводится к первому замечательному:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{5} \cdot Sin(3x)}{\frac{3}{5}\cdot 5x} - \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{5} \cdot Sin(x)}{\frac{1}{5}\cdot 5x} =\frac{3}{5} -\frac{1}{5} =\frac{2}{5}$

Таким образом $f(x) \asymp g(x)$, ч.т.д.