Question

Построить гиперболу и найти все ее характеристики, если гипербола сопряжена действительна b=2 мнимая а=3
сопряжена$\frac{y^2}{4} -\frac{x^2}{9} =1$

[tex]9x^{2} -9y^{2} +36=0

Answer 1

Две гиперболы называются сопряженными, если они имеют общий центр и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой. Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

Уравнение гиперболы, сопряженной данной:

(y²/b²) - (x²/a²) = 1.

Действительная ось этой гиперболы равна мнимой оси другой.

1) По заданию надо определить характеристики гиперболы, сопряжённой с гиперболой, имеющей полуоси b=2 и а=3.

Такая гипербола имеет уравнение:

(x²/a²) -(y²/b²)  = 1.

Подставим длины полуосей а=3 и b=2.

(x²/3²) - (y²/2²) = 1.

Расстояние от центра до фокуса с = √(3² + 2²) = √(9+4) = √13.

Эксцентриситет e = c/a = √13/3.

Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром. Обозначается р.

p = b²/a = 2²/3 = 4/3.

Директрисы d = +-a/e = +-3/(√13/3) = +-9/√13.

Асимптоты y = +-(b/a)x = +-(2/3)x.

2) Аналогично для второй гиперболы, для которой в задании дано уравнение сопряжённой гиперболы 9x² - 9y² + 36 = 0.

Если привести её к каноническому виду, получим:

(9x²/36) - (9y²/36) = (-36/36).

Получаем (y²/2²) - (x²/2²) = 1.

Для этой сопряжённой гиперболы обычной будет гипербола:

(x²/2²) - (y²/2²) = 1.

Длины полуосей a = b = 2.

Расстояние от центра до фокуса с = √(2² + 2²) = √(4+4) = √8 = 2√2.

Эксцентриситет e = c/a = 2√2/2 = √2.

Фокальный параметр p = b²/a = 2²/2 = 2.

Директрисы d = +-a/e = +-2/√2 = +-√2.

Асимптоты y = +-(b/a)x = +-(2/2)x = +-х.