Question

в записи числа 11... 222...2 использовано 2021 цифры 1 и 2021 цифры 2. докажите что это число является произведением двух последовательных натуральных чисел ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\underbrace{11 \dots 1}_n\underbrace{22 \dots 2}_n = \underbrace{11 \dots 1}_{2n} + \underbrace{11 \dots 1}_n = \cfrac{10^{2n} - 1}{9} + \cfrac{10^n - 1}{9} = \\=\cfrac{(10^{n} + 1)(10^n-1) + 10^n - 1}{9} = \cfrac{(10^{n} + 2)(10^n-1)}{9} =\cfrac{(10^{n} - 1 + 3)(10^n-1)}{9} =\\=\cfrac{(10^{n} - 1)^2 + 3(10^n-1)}{9} = \cfrac{(10^n - 1)^2}{9} + \cfrac{10^n - 1}{3} = \cfrac{10^n - 1}{3} (\cfrac{10^n - 1}{3} + 1)$

Получили, что для любого n число:

$\underbrace{11 \dots 1}_n\underbrace{22 \dots 2}_n$

представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел.