Question

Помогите пожалуйста вычислить предел

Answer 1

Ответ:

$e^{-\frac{1}{6} }$

Объяснение:

$\lim_{x \to \infty} (xsin\frac{1}{x})^{x^2+3} = \lim_{x \to \infty} ( 1 +xsin\frac{1}{x}-1 )^{x^2+3} = \\\\=\lim_{x \to \infty} ( 1 +\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1} )^{\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1}(x^2+3)*(xsin\frac{1}{x}-1)$

Заметим, что $xsin(\frac{1}{x} ) = \frac{(sin\frac{1}{x}) }{\frac{1}{x} }$ cтремится к $1$ при стремлении $x$ к бесконечности (первый замечательный предел), ибо $\frac{1}{x}$ стремится к $0$.

Тогда: $xsin(\frac{1}{x}) -1$ стремится к $0$, соответственно $\frac{1}{xsin(\frac{1}{x}) -1}$  cтремится к бесконечности.

Таким образом, из второго замечательного предела следует, что данный предел эквивалентен следующему:

$\lim_{x \to \infty} ( 1 +\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1} )^{\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1}(x^2+3)*(xsin\frac{1}{x}-1)} = \\=e^ {\lim_{x \to \infty} (x^2 + 3)(xsin(\frac{1}{x}) -1) } = e^ {\lim_{x \to \infty} x^2(xsin(\frac{1}{x}) -1) }$

Посчитаем отдельно предел:

$\lim_{x \to \infty} x^2(xsin(\frac{1}{x}) -1) = \lim_{x \to \infty} x^3sin(\frac{1}{x}) -x^2$

В данном пределе возникает неопределенности вида 0*∞

Разложим $x^3*sin(\frac{1}{x})$  в ряд Тейлора до второго члена: (оставшиеся члены начиная с третьего будут стремится к 0 ):

$x^3*( \frac{1}{x} -\frac{1}{3!x^3} ) = x^2 - \frac{1}{6}$

Таким образом:

$\lim_{x \to \infty} x^2(xsin(\frac{1}{x}) -1) = \lim_{x \to \infty} x^3sin(\frac{1}{x}) -x^2 = \lim_{x \to \infty} x^2 -\frac{1}{6} -x^2 = -\frac{1}{6}$

Тогда окончательно получаем:

$\lim_{x \to \infty} (xsin\frac{1}{x})^{x^2+3} = e^{-\frac{1}{6}}$