Question

Точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно прямойA1B1 .Отрезки AA1 и BB1 перепендикулярны прямой A1B1.Найдите расстояние KK1 от середины K1 отрезка AB до прямой A1B1,если AA1=5 , BB1=11.

Answer 1

Ответ:

KK₁ = 3 ед.

Объяснение:

Дано: прямая АВ;

АК=КВ;

АА₁ ⊥ АВ; ВВ₁ ⊥ АВ; КК₁ ⊥ АВ.

АА₁ = 5; ВВ₁ = 11.

Найти: КК₁

Решение:

Пусть А₁В₁= 2а.

Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

АА₁ ⊥ АВ; ВВ₁ ⊥ АВ; КК₁ ⊥ АВ ⇒ АА₁ || ВВ₁ || КК₁.

Теорема Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

АК = КВ ⇒ А₁К₁ = К₁В₁ = а.

Рассмотрим ΔА₁АО и ΔОВВ₁ - прямоугольные.

Вертикальные угла равны.

∠1 = ∠2 (вертикальные)

⇒ ΔА₁АО ~ ΔОВВ₁  (по двум углам)

Составим пропорцию:

$\displaystyle \frac{A_1O}{OB_1}=\frac{A_1A}{B_1B} \\\\ \frac{A_1O}{OB_1}=\frac{5}{11}$

Пусть А₁О = 5х, тогда ОВ₁ = 11х

Составим уравнение:

$\displaystyle 5x+11x=2a\\16x=2a\\x=\frac{a}{8}$

⇒ $\displaystyle A_1O=\frac{5a}{8}$

Тогда

$\displaystyle OK_1=a-\frac{5a}{8}=\frac{3a}{8}$

Рассмотрим ΔА₁АО и ΔК₁КО - прямоугольные.

∠1=∠2 (вертикальные)

⇒ ΔА₁АО ~ ΔК₁КО

Составим пропорцию:

$\displaystyle \frac{AA_1}{KK_1}=\frac{A_1O}{OK_1} \\\\\frac{5}{KK_1}=\frac{5a*8}{8*3a} =\frac{5}{3}\\\\KK_1=\frac{5*3}{5}=3$