Question

Решите предел не пользуясь правилом Лопиталя.

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\Big(2e^{x-2}-1\Big)^{\frac{3x+2}{x-2}}=\left\{1^\infty\right\}=\lim_{x \to 2}\Big(1+2e^{x-2}-2\Big)^{\frac{3x+2}{x-2}\cdot \frac{2e^{x-2}-2}{2e^{x-2}-2}}=\\ \\ \lim_{x \to 2}e^{\frac{(3x+2)\cdot 2(e^{x-2}-1)}{x-2}}=e^{\lim\limits_{x \to 2}2(3x+2)}=e^{2\cdot (3\cdot 2+2)}=e^{16}$

Здесь применен второй замечательный предел и $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$