Question

Решите предел не пользуясь правилом Лопиталя.

Answer 1

Прикреплено изображение таблицы эквивалентных бесконечно малых функций.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin3x-\sin2x}{\ln(1+2{\rm tg}\,3x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{5x}{2}}{\ln(1+2{\rm tg}\, 3x)}=\left|\left|\begin{array}{ccc}\ln (1+2{\rm tg}\, 3x)\sim2{\rm tg}\, 3x\\ \\ \sin \dfrac{x}{2}\sim \dfrac{x}{2}\end{array}\right|\right|=$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{2\cdot\frac{x}{2}\cos \frac{5x}{2}}{2{\rm tg}\, 3x}=\left|\left|\begin{array}{ccc}{\rm tg}\, 3x\sim 3x\\ .\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{x\cdot \cos 0}{3x}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$