Question

Найдите наибольшее натуральное n такое, что n(n+101) – точный квадрат. ​

Answer 1

Так как число 101 простое и потому делится только на единицу и на само себя, НОД (n; 101) может быть либо 1, либо 101.

Рассмотрим первый случай: (НОД) = 1.

Тогда n и n+101 — взаимно простые числа, а если произведение таких чисел является точным квадратом, то каждый множитель будет точным квадратом.

Значит, n=a² и n+101 = b²

Остюда b² - a² = n + 101 - n = 101

(b - a)(b + a) = 101  

$\begin{equation*} \begin{cases} b-a=1\\ b+a=101 \end{cases}\end{equation*}$

b = 1 + a

1 + a + a = 101

2a = 100

a = 50

b = 1 + 50 = 51

n = a² = 50² = 2500

_____________________________

Теперь рассмотрим второй случай: (НОД = 101).

Тогда n = 101k и n + 101 = 101(k + 1)

n(n +101) = 101k ⋅ 101(k + 1) = 101²k(k+1)

101²k(k + 1) = m²

Произведение взаимно простых множителей равно квадрату, значит, каждый множитель является квадратом:

k = a²

k + 1 = b²

b² - a² = k + 1 - k = 1

(b - a)(b + a) = 1

a = 0

$k=\sqrt{a}=0$

n = 101k = 0

0 — не натуральное число, поэтому нам не подходит.

Ответ:

Наибольшее натуральное n, при котором n(n+101) — точный квадрат, — это число 2500.