Найти наименьшее значение выражения 8x^2+2y^2+z^2+4xy-2zy-12x-2y-2z+9
Ответы
Ответ:
F(0,5; 1; 2) = 3
Пошаговое объяснение:
F(x,y,z) = 8x^2+2y^2+z^2+4xy-2zy-12x-2y-2z+9
Чтобы найти минимум функции нескольких переменных, нужно, чтобы:
1) Все частные производные dF/dx = 0, dF/dy = 0, dF/dz = 0
{ dF/dx = 16x + 4y - 12 = 0
{ dF/dy = 4y + 4x - 2z - 2 = 0
{ dF/dz = 2z - 2y - 2 = 0
Делим 1 уравнение на 4, 2 уравнение на -1 и 3 уравнения на 2.
И перенесем числа вправо:
{ 4x + y + 0z = 3
{ -4x - 4y + 2z = -2
{ 0x - y + z = 1
Складываем 1 и 2 уравнения:
{ 4x + y + 0z = 3
{ 0x - 3y + 2z = 1
{ 0x - y + z = 1
Умножаем 3 уравнение на -3:
{ 4x + y + 0z = 3
{ 0x - 3y + 2z = 1
{ 0x + 3y - 3z = -3
Складываем 2 и 3 уравнения:
{ 4x + y + 0z = 3
{ 0x - 3y + 2z = 1
{ 0x + 0y - z = -2
Из 3 уравнения -z = -2; z = 2, подставляем во 2 уравнение:
-3y + 2*2 = 1; -3y = 1 - 4 = -3; y = 1, подставляем в 1 уравнение:
4x + 1 = 3; 4x = 3 - 1 = 2; x = 2/4 = 0,5
M0(0,5; 1; 2) - стационарная точка, но еще неизвестно, минимум ли это.
2) Находим вторые производные этой функции:
d2F/dx^2 = d(16x + 4y - 12)/dx = 16
d2F/dy^2 = d(4y + 4x - 2z - 2)/dy = 4
d2F/dz^2 = d(2z - 2y - 2)/dz = 2
d2F/dxdy = d2F/dydx = d(16x + 4y - 12)/dy = 4
d2F/dxdz = d2F/dzdx = d(16x + 4y - 12)/dz = 0
d2F/dydz = d2F/dzdy = d(4y + 4x - 2z - 2)/dz = -2
3) Составляем матрицу Гессе 3*3 из вторых производных:
| d2F/dx^2 d2F/dxdy d2F/dxdz | = | 16 4 _0 |
| d2F/dydx d2F/dy^2 d2F/dydz | = | _4 4 -2 | =
| d2F/dzdx d2F/dzdy d2F/dz^2 | = | _0 -2 2 |
= 16*4*2 + 4(-2)*0 + 4(-2)*0 - 0*4*0 - 16(-2)(-2) - 4*4*2 = 128 - 64 - 32 = 32
Рассмотрим миноры:
Delta1(M0) = 16 > 0
Delta2(M0) = | 16 4 | = 16*4 - 4*4 = 64 - 16 = 48 > 0
______ | _4 4 |
Delta3(M0) = Всей матрице = 32 > 0
4) Условия такие:
Если Delta3 = 0, то мы не можем определить по этому признаку.
Если Delta1 > 0, Delta2 > 0, Delta3 > 0, то M0 - минимум.
Если Delta1 < 0, Delta2 > 0, Delta3 < 0 (именно так!), то M0 - максимум.
При всех других вариантах M0 - седловая точка.
У нас Delta1 > 0, Delta2 > 0, Delta3 > 0, M0(0,5; 1; 2) - минимум.
5) Наименьшее значение функции:
F(0,5; 1; 2) = 8*0,25+2*1+4+4*0,5*1-2*2*1-12*0,5-2*1-2*2+9 =
= 2 + 2 + 4 + 2 - 4 - 6 - 2 - 4 + 9 = 3