Question

На какую наибольшую степень числа 2021 делится число 2021! = 1\cdot 2\cdot ....\cdot 2021?2021!=1⋅2⋅....⋅2021?

Answer 1

$2021!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot2021$

Заметим, что число 2021 раскладывается на простые множители следующим образом:

$2021=43\cdot47$

Среди первых 2021 натурального числа реже встречаются числа, кратные 47, чем числа, кратные 43. Поэтому, нужно определить количество чисел, кратных 47. Кстати, сделать это можно очень легко, если начать перечислять их:

$47;\ 2\cdot47;\ 3\cdot47;\ \ldots;\ 42\cdot47;\ 43\cdot47=2021$

Таким образом, среди первых 2021 натурального числа есть 43 числа, кратных 47. Значит, мы можем найти множитель "47" в количестве 43 штук. Множитель "43" встречается чаще, поэтому этот множитель в количестве 43 штук мы тем более найдем.

Значит, множитель "2021" как произведение чисел 43 и 47 мы получим в количестве 43 штук. Тогда, число $2021!$ делится на $2021^{43}$, но уже не делится на $2021^{44}$.

Ответ: на 43 степень