Question

Вычислить предел функции.

Answer 1

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Объяснение:

$\lim_{x\to1} \ \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - 1}{lnx}$

Для числителя:

$\lim_{x\to \1} (\sqrt{x^2 - x + 1} -1) = 0$

Для знаменателя:

$\lim_{x\to\\1} log(x) =0$

Избавимся от неопределённости:

$\lim_{x\to1 }\ (\frac{\sqrt{(x^2 - x) + 1} - 1}{log(x)})$ =

Преобразуем функцию под знаком предела:

$\lim_{x\to1 }\ (\frac{\sqrt{x(x - 1) + 1} - 1}{log(x)})$ =

$\lim_{x \to \ 1 } (\frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - x + 1} - 1) }{\frac{d}{dx}log(x) } )$ =

$\lim_{x \to \ 1} (\frac{x(x - \frac{1}{2} )}{\sqrt{x^2 - x + 1} } )$ =

$\lim_{x \to \ 1} (\frac{x}{2} )$ =

$\frac{1}{2}$

(Было применено правило Лопиталя, (т.е. мы взяли производную от числителя и знаменателя 1 раз), так как у нас неопределённость типа 0/0.)