Question

даны точки А(1;2) В(3;4)
написать уравнение прямой проходящей через середину АВ под углом 30 градусов к отрицательному направлению оси х

Answer 1

Ответ:

$y = 3 + \tfrac{1}{ \sqrt{3}} - { \tfrac{x}{ \sqrt{3} } }$

или

$y= \tfrac{ \sqrt{3} }{3} (3 \sqrt{3} +{ 1 - x)} ;$

Объяснение:

Координаты середины АВ:

Если даны точки А(1;2) В(3;4), то

серединой отрезка AB будет такая точка С

$C = C(c_x; c_y) \\ c_x = \frac{a_x + b_x}{2} ; \: \: c_y = \frac{a_y + b_y}{2}$

$a_x=1;\:b_x=3;\:\:a_y=2;\:\:b_y=4\\ c_x= \frac{1 + 3}{2} = 2;\:c_y= \frac{2 + 4}{2} = 3\:$

C = C(2;3)

Уравнение прямой имеет вид

y = kx + b

где k - тангенс угла наклона относительно Ox

В нашем случае угол составляет 30 градусов к отрицательному направлению оси х

Можно обозначить это как угол к О(-х).

Т.к. угол между О(-х) и Ох - развернутый, т.е. составляет 180°, угол наклонаискомой прямой относительно Ох равен

$\alpha = 180 \degree - 30\degree = 150\degree$

$k = \tg \alpha = \tg{150 \degree} = - \frac{1}{ \sqrt{3} }$

То есть нашей прямой соответствует уравнение вида:

$y = - \frac{1}{ \sqrt{3} } {\cdot}{x} + b \\ y= b - \frac{x}{ \sqrt{3} } < = > y = b - \frac{x \cdot\sqrt{3} }{3}$

Найдем b:

Т.к. точка С(2;3) принадлежит искомой прямой (т.е. х0 = 2, у0 = 3), справедливо:

$y(2) = 3 \:$

т.е. подставив 2 вместо х и 3 вместо у, получаем:

$3 = b - \frac{2}{ \sqrt{3} } = > b = 3 + \frac{2}{ \sqrt{3} } \\ b = 3 + \frac{ 2 \sqrt{3} }{3} = \frac{9 + 2 \sqrt{3} }{3}$

Подставляем найденные значения k, b:

$k {=}{ -} \tfrac{1}{ \sqrt{3} } {=}{ - } \tfrac{ \sqrt{3} }{3}; \: \: b = 3 + \tfrac{1}{ \sqrt{3} } = \tfrac{9 + \sqrt{3} }{3} ;$

Следовательно

$y = \tfrac{9 + \sqrt{3} }{3} - \tfrac{x \sqrt{3} }{{3} } \\ y= \tfrac{ \sqrt{3} }{3} (3 \sqrt{3} +{ 1 - x)}$