Докажите, что если НОД(a,b)=1, то дробь (a^2×b^2)/(a^2+b^2) несократима.
Подробное доказательство
Ответы
Предположим, что дробь a^2b^2/(a^2+b^2) cократима, тогда у чисел a^2b^2 и a^2 + b^2 cуществует хотя бы один простой общий делитель p.
Поскольку a^2b^2 делится на простое число p, то либо a^2 либо b^2 делится на p, или они оба делятся на p.
a^2 + b^2 также делится на p, поэтому, если a^2 делится на p, то и b^2 обязательно делится на p, ибо в случае не делимость b^2 на p число a^2 +b^2 не делилоcь бы на p. Аналогично, если b^2 делится на p, то и a^2 обязательно делится на p.
Таким образом, оба числа a^2 и b^2 делятся на простое число p, а значит и сами числа a и b одновременно делятся на а и b (в силу простоты числа p, однако НОД(a,b)=1, иначе говоря, натуральные числа a и b взаимно простые, то есть мы пришли к противоречию, такая дробь несократима.