Question

На катете BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине С и углом 30 при вершине A вне треугольника построен равносторонний треугольник BCD. Прямая AD пересекает сторону BC в точке K
a) Докажите, что CK : KB = 1 : 2
б) Прямая проходящая через точку К перепендикулярно AD пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите отношение AM : MB

Answer 1

Ответ:

б) АМ : МВ = 14 : 1

Объяснение:

а)

Обозначим:

ВС = DC = BD = x

Так как ∠А = 30° , то АВ = 2х, а АС = х√3.

Проведем DE⊥AC.

$EC=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$ (этот отрезок равен высоте равностороннего треугольника BDC)

$DE=\dfrac{x}{2}$

$AE=AC+CE=x\sqrt{3}+\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3x\sqrt{3}}{2}$

ΔАКС ~ ΔADE по двум углам (прямоугольные, угол А общий), ⇒

$\dfrac{KC}{DE}=\dfrac{AC}{AE}$

$KC=\dfrac{AC\cdot DE}{AE}$

$KC=x\sqrt{3}\cdot \dfrac{x}{2}:\dfrac{3x\sqrt{3}}{2}$

$KC=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{2}{3x\sqrt{3}}$

$\boldsymbol{KC=\dfrac{x}{3}}$

Значит, КС : КВ = 1 : 2.

б)

∠ACD = 90° + 60° = 150°

Из ΔACD по теореме косинусов:

AD² = AC² + CD² - 2·AC·CD·cos∠ACD

$AD^2=3x^2+x^2-2\cdot x\sqrt{3}\cdot x\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$AD^2=4x^2+3x^2=7x^2$

$\boldsymbol{AD=x\sqrt{7}}$

Из ΔABD по теореме косинусов:

$\cos\angle BAD=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2\cdot AB\cdot AD}$

$\cos\angle BAD=\dfrac{4x^2+7x^2-x^2}{2\cdot 2x\cdot x\sqrt{7}}=\dfrac{10x^2}{4x^2\sqrt{7}}$

$\boldsymbol{\cos\angle BAD=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}}$

Из прямоугольного треугольника АКС по теореме Пифагора:

$AK=\sqrt{AC^2+KC^2}=\sqrt{3x^2+\dfrac{x^2}{9}}$

$AK=\sqrt{\dfrac{28x^2}{9}}$

$\boldsymbol{AK=\dfrac{2x\sqrt{7}}{3}}$

ΔAKM:  ∠AKM = 90°

$\dfrac{AK}{AM}=\cos\angle MAK=\cos\angle BAD=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}$

$AM=AK : \dfrac{5}{2\sqrt{7}}$

$AM=\dfrac{2x\sqrt{7}}{3}\cdot \dfrac{2\sqrt{7}}{5}$

$\boldsymbol{AM=\dfrac{28x}{15}}$

$BM=AB-AM=2x-\dfrac{28x}{15}=\dfrac{2x}{15}$

$\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{28x}{15}:\dfrac{2x}{15}=\dfrac{28x}{15}\cdot \dfrac{15}{2x}$

$\boldsymbol{\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{14}{1}}$

Answer 2

а) Продлим BD до пересечения с AC в точке A1.

∠A1 =90-60 =∠DCA1 => △CDA1 - р/б, DA1=DC=BD

=> AD - медиана в △ABA1

△ABA1 - р/б (∠A=∠A1=30) => BC - высота и медиана.

Медианы (AD, BC) точкой пересечения делятся 2:1 от вершины.

BK:KC=2:1

б) Достроим до равностороннего треугольника ABE.

Пусть AE=BE=6, тогда BK=2, KE=4

Опустим перпендикуляр KL на AE.

△KEL: ∠E=60 => LE=2, KL=2√3

△AKN: KL^2=AL*LN (высота из прямого угла) => 12=4*LN => LN=3

=> EN=1, AN=7

т Менелая

AM/MB *BK/KE *EN/NA =1 => AM/MB *1/2 *1/7 =1 => AM/MB =14/1