помогите пожалуйста..
Ответы
1. Эквивалентные матрицы - это когда одна из другой получается с помощью элементарных преобразований, а они не меняют количество строк (столбцов). Поэтому эквивалентные матрицы должны быть одного порядка.
Правда, иногда при решении систем методом Гаусса разрешают зачеркивать возникающие нулевые строчки, а это меняет размер матрицы, так что нужно узнать, включает ли Ваш преподаватель вычеркивание строк в число элементарных преобразований.
2. Пусть A имеет размер m на n. Поскольку существует произведение AB, матрица B должна иметь размер n на k, при этом AB будет иметь размер m на k. Но AB=E, поэтому m=k, а тогда существует и произведение BA.
3. Нулевая и ненулевая матрицы не могут быть эквивалентными. Умножение строки (столбца) на ненулевое число не увеличивает количество нулей в матрице. Добавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число, может добавить нулей в той строке (столбце), к которой мы добавляем, но не меняет строку (столбец), которую добавляем. Если добавляемая строка имеет ненулевой элемент, он так и останется ненулевым, если же добавляемая строка была нулевой, не изменится количество ненулевых элементов в той строке, к которой мы добавляли нулевую.
Перестановка строк (столбцов) не добавляет нулевых элементов в матрице.