Question

Составьте каноническое уравнение прямой $\left \{ {{x-2y+3z+5=0} \atop {5x+y-3z-8=0}} \right.$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{18}=\dfrac{z}{11}$

Пошаговое объяснение:

Для задания канонического уравнения прямой необходимо знать координаты некоторой точки, лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора. Направляющий вектор можно задать двумя точками, лежащими на прямой (одна является началом, а другая — концом вектора). Значит, необходимо найти любые две точки, принадлежащие прямой.

Пусть z = 0. Тогда имеем систему:

$\displaystyle\left \{ {{x-2y=-5,} \atop {5x+y=8}} \right. \left \{ {{x-2y=-5,} \atop {10x+2y=16}} \right. \Rightarrow (x-2y)+(10x+2y)=-5+16\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 11x=11\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=8-5x=3$

Имеем точку A(1; 3; 0).

Пусть z = -1. Аналогично:

$\displaystyle\left \{ {{x-2y=-2,} \atop {5x+y=5}} \right. \left \{ {{x-2y=-2,} \atop {10x+2y=10}} \right. \Rightarrow 11x=8\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{11}\Rightarrow y=\dfrac{15}{11}$

Имеем точку $B\left(\dfrac{8}{11};\dfrac{15}{11};-1\right)$.

Вектор $\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{8}{11}-1;\dfrac{15}{11}-3;-1-0\right)=\left(-\dfrac{3}{11};-\dfrac{18}{11};-1\right)$ является направляющим. Но поскольку направляющим вектором может служить любой коллинеарный $\overrightarrow{AB}$ вектор, за направляющий примем $-11\overrightarrow{AB}=(3;18;11)$.

Используя точку A и направляющий вектор, зададим каноническое уравнение прямой:

$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{18}=\dfrac{z}{11}$