Question

докажите, что значение данного выражения есть число рациональное
$\frac{1}{2 \sqrt{} {3 + 1} } - \frac{1}{2 \sqrt3{- 1} }$
​

Answer 1

Объяснение:

$\frac{1}{2\sqrt{3}+1 } -\frac{1}{2\sqrt{3}-1 } =\frac{2\sqrt{3}-1-(2\sqrt{3}+1) }{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3} -1) } =\frac{2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-1 }{(2\sqrt{3})^2-1^2 } =\frac{-2}{4*3-1} =\frac{-2}{12-1}=-\frac{2}{11} .$

Answer 2

Объяснение:

Проведём преобразования дроби, приведем к одному знаменателю и упростим:

$\frac{1}{2 \sqrt{3} + 1} - \frac{1}{2 \sqrt3{- 1} } = \\ \small{ =} \frac{2 \sqrt{3} - 1}{(2 \sqrt{3} {+} 1)(2 \sqrt{3} { -} 1) } {- }\frac{2 \sqrt{3} + 1}{(2 \sqrt{3} {+} 1)(2 \sqrt{3} { -} 1) } = \\ = \frac{(2 \sqrt{3} - 1) - (2 \sqrt{3} + 1)}{(2 \sqrt{3} {+} 1)(2 \sqrt{3} { -} 1) } = \\ = \frac{2 \sqrt{3} - 1- 2 \sqrt{3} - 1}{(2 \sqrt{3} {+} 1)(2 \sqrt{3} { -} 1) } = \\ = \frac{ \cancel{2 \sqrt{3}} - 1- \cancel{2 \sqrt{3}} - 1}{(2 \sqrt{3})^{2} { -} {1}^{2} } = \\ = \frac{ - 2}{ {2}^{2} {\cdot}( \sqrt{3})^{2} - {1}^{2} } = \frac{ - 2}{4 {\cdot}3 - 1} = \\ = \frac{ - 2}{12 - 1} = - \frac{2}{11}$

А данная дробь - рациональна. Следовательно, утверждение о рациональности исходного выражения - доказано.