4. Є 199 металевих стержнів довжиною 1, 2, 3, ..., 198, 199. Чи можна зварити з цих
стержнів:
а) каркас дуба
б) каркас прямокутного паралелепіпеда? (Потрібно використовувати всі стержні)
Ответы
Ответ:
а) да
б) да
Объяснение:
a) Ну полагаю, что каркас куба, а не дуба ))
Да, возможно. Возьмем 12 пар длин стержней, которые в сумме дают одинаковую длину.
Например такие пары:
1+24, 2 + 23, 3+22,....., 12 + 13.
То есть можно получить 12 ребер длины 25 и составить из них куб
б) Тоже возможно.
Тут уже привести пример будет посложнее.
Возьмем для первого измерения a параллелепипеда cледующие стержни для каждого из 4 ребер:
a1 = 199
a2 = 1+198
a3 = 2+197
a4 = 3+196
То есть длина измерения a = 189
Возьмем для второго измерения b параллелепипеда cледующие стержни для каждого из 4 ребер:
b1 = 4+11
b2 = 5+10
b3 = 6+9
b4 = 8+7
То есть длина измерения b = 15.
Остались стержни с длинами:
12,13,14,15,...,195.
Общее количество оставшихся стержней равно: 195 - 12 + 1 = 184
Заметим, что 184 = 8*23 - кратно 8
Такое количество кратное 8 и так, чтобы оставшиеся числа в порядке возрастания образовывали арифметическую прогрессию было подобрано не случайно.
По принципу крайних сумм в арифметических прогрессиях: если сложить k число с начала и k с конца, а также сложить m число с начала и m число с конца в числовом ряду 12,13,14,15,...,195, то мы получим одинаковые результаты.
Но тогда логически ясно, что это можно обобщить до следующего утверждения: если сложить k-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с начала и k-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с конца, а также сложить m-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с начала и m-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с конца, то получим одинаковые результаты.
Чтобы не быть голословным, покажу это на простом примере:
12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23
Возьмем такие подпоследовательности по 3 числа и покажем равенства сумм:
(12+13+14) + (23+22+21) = (15+16+17) + ( 20+19+18) = 35 * 3 = 105
Применим этот принцип к данному примеру.
Разобьем 184 числа из нашей последовательности на 8 подпоследовательностей из 23 последовательных натуральных чисел.
Тогда, складывая крайние подпоследовательности по описанному выше принципу, получим 4 одинаковые суммы. Полученная сумма и будет значением длины 3-его измерения.
Длина этого измерения равна:
c = (12+13+14+...+34) + (195+194 + 193+...+173) = 207 * 23 = 4761