Question

К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если MN=20, CM=26.

Answer 1

Касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно, образует подобный треугольник СМN.
Высота его $h= sqrt{26^2-( frac{20}{2} )^2} = sqrt{676-100} =24$.
Тогда тангенс половины угла С равен 10/24 = 5/12.
Для треугольника СМN окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, будет вневписанной. Её радиус равен:
$r=ptg( frac{C}{2} )$, где р - полупериметр треугольника СМN.
r = ((2*26+20)/2) * 5/12 = 36*5/12 = 15.
Высота треугольника АВС равна Н = 24+2*15 = 54.
Основание равно 2Htg(C/2) = 2*54*5/12 = 45/
Площадь треугольника АВС равна 1/2*54*45 = 1215.