Question

Помогите решить пожалуйста Исследовать функцию при помощи производной и построить график

y=x³/3(x-1)²

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{x^3}{3(x-1)^2}$

1. ОДЗ:

x ≠ 1 или x ∈ (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

2. Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^3}{3(-x-1)^2}$

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями:

х = 0; у = 0.

4. Асимптоты:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^3}{3(x-1)^2}= \infty$

⇒ x = 1 - вертикальная асимптота.

Наклонная: y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{3x(x-1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{3(x^2-2x+1)}=\\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} }{3(\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2} ) }=\frac{1}{3}$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{3(x-1)^2}-\frac{1}{3}x\right)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-x^3+2x^2-x}{3(x-1)^2} =\\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2} }{3(\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}) } =\frac{2}{3}$

⇒    $\displaystyle y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$    -наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание:

Найдем производную, приравняем к нулю:

$\displaystyle y'=\frac{3x^2(x-1)^2-x^3*2(x-1)}{3(x-1)^4} =\frac{3x^3-3x^2-2x^3}{3(x-1)^3} =\\\\=\frac{x^3-3x^2}{3(x-1)^3} =\frac{x^2(x-3)}{3(x-1)^3}$

$\displaystyle y'=0\\\\x=0;\;\;\;x=3;\;\;\;x\neq 1$

Отметим точки на координатной оси, определим знаки производной на промежутках. Если "+" - функция возрастает, "-" - убывает.

См. рис.

$\displaystyle x_{min }=3\\\\y(3)=\frac{27}{3*4} =2,25$

6. Выпуклость, вогнутость:

Найдем вторую производную, приравняем к нулю:

$\displaystyle y''=\frac{(3x^2-6x)(x-1)^3-(x^3-3x^2)3(x-1)^2}{3(x-1)^6} =\\\\=\frac{(3x^2-6x)(x-1)-3(x^3-3x^2)}{3(x-1)^4} =\\\\=\frac{3x^3-3x^2-6x^2+6x-3x^3+9x^2}{3(x-1)^4}=\frac{6x}{3(x-1)^4} =\frac{2x}{(x-1)^4}$

$y''=0\\\\x=0;\;\;\;x\neq 1$

Отметим точки на оси и определим знак второй производной по правилу "дождя". Если "+" - вогнута, если "-" - выпукла.

См. рис.

Строим график.