Question

хелп........
........​

Answer 1

Ответ:

$\{0.1;\: \sqrt[4]{10} \}$

Объяснение:

$\frac{1 - {\lg}^{2} {x}^{2} }{ \lg{x} - 2 { \lg}^{2}{x} } = \lg{ {x}^{4} } + 5$

Найдем ОДЗ

$ОДЗ : \begin{cases} x > 0 \\ \lg{x} {- }2 \lg^{2}x \neq 0 \: \end{cases} {< }{= > } \\ {< }{= > }\begin{cases} x > 0 \\ \lg{x} (1{- } 2\lg{x}) \neq 0 \: \end{cases}{ < = > } \\ { < = > }\begin{cases} x > 0 \\ \lg{x} \neq 0 \\ \lg{x} \neq \frac{1}{2} \: \end{cases}{ < = > }\begin{cases} x > 0 \\ {x} \neq 1 \\ {x} \neq \sqrt{10} \: \end{cases}$

$\frac{1 - {\lg}^{2} {x}^{2} }{\lg{x} - 2 \lg^{2}{x} } = \lg{ {x}^{4} } + 5 \\ \frac{1 - ( {\lg x^{2} )}^{2} }{ \lg{x} - 2 \lg^{2}{x}} = 4\lg{ {x} } + 5 \\ \frac{1 - ( {2\lg x)}^{2} }{ \lg{x}(1 - 2 \lg{x} )} = 4\lg{ {x} } + 5 \\ \frac{ \cancel{(1 - 2\lg x)}(1 + {2\lg x}) }{ \lg{x} \cancel{(1 - 2 \lg{x} )}} = 4\lg{ {x} } + 5$

То, что $1 - 2 \lg{x} \neq 0$

а также $\lg{x} \neq 0$

мы учитывали, рассчитывая ОДЗ. Поэтому можно избавиться от знаменателя.

$\frac{ 1 + {2\lg x}}{ \lg{x} } = 4\lg{ {x} } + 5 \\ { 1 + {2\lg x}}{ } = 4\lg^{2} { {x} } + 5\lg{x} \\ 4\lg^{2} { {x} } + 5\lg{x} - 2\lg{x} - 1 = 0\\ 4\lg^{2} { {x} } + 3\lg{x} - 1 = 0\\ \lg^{2} { {x} } + \tfrac{3}{4} \lg{x} - \tfrac{1}{4} = 0\\ no \: \: T. \: Buema \\ ( \lg{x} + 1)( \lg{x} - \tfrac{1}{4} ) = 0$

Отсюда получаем 2 возможных варианта:

$\lg{x} = - 1 \: & \cup & \: \lg{x} = \tfrac{1}{4} \\ x {= } {10}^{ - 1} { =} 0.1 & \cup & \: x = {10}^{ \frac{1}{4} } = \sqrt[4]{10}$

Ответ :

$x \: \in \: \{0.1;\: \sqrt[4]{10} \}$