Question

Знайти первісну підінтегральної, функції графік якої проходить через точку з координатами (х0 ; у0)​

Answer 1

Привет!)

$\int{\dfrac{3+2x^2}{x^2(3+x^2)}}dx=\int{\Big(\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{Cx+D}{3+x^2}\Big)}dx=\\=\begin{vmatrix}Ax(3+x^2)+B(3+x^2)+x^2(Cx+D)\equiv3+2x^2\\3Ax+Ax^3+3B+Bx^2+Cx^3+Dx^2\equiv3+2x^2\\ \begin{cases}A+C=0\\B+D=2\\3A=0\\3B=3\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}A=0\\B=1\\C=0\\D=1\end{cases}\end{vmatrix}=\int{\Big(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{3+x^2}\Big)}dx=\\=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\dfrac{x}{\sqrt{3}})+C$

$\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\dfrac{1}{\sqrt{3}})+C\\\dfrac{\pi}{6}=-1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}*\dfrac{\pi}{6}+C\\C=1+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{18}\approx1.22$