Question

Срочно!! Помогите решить задачу!! Даю 50 балов.


Точка А(1;2) і Д(1;-6) вершини прямокутного трикутника АБСД. Модуль вектора АС дорівнює 17. Знайдіть координати вершин Б і С.

Answer 1

Дано:

$ABCD$ — прямоугольник

$A(1;2), \: D(1;-6),$

$|\vec{AC}| = 17$

Найти:

координаты точек $B$ и $C$

Решение:

$x_A = x_D = 1,$

$y_A = y_B = 2,$

$y_D = y_C = - 6,$

$x_C = x_B$ => $B(x_C ; 2), \: C(x_C ; - 6)$

$\vec{AC} = (x_c - x_A; \: y_c - y_A) = (x_C - 1; \: - 6 - 2) = (x_C - 1; \: - 8),$

$|\vec{AC}| = 17;$

$\vec{AD} = (x_D - x_A ; \: y_D - y_A) = (1-1; \: - 6 - 2) = (0; \: - 8),$

$|\vec{AD}| = \sqrt{ {(x_{AD})}^{2} + {(y_{AD})}^{2} } = \sqrt{ { 0 }^{2} + { (-8) }^{2} } = \sqrt{ 64 } = 8;$

$\vec{DC} = (x_C - x_D ; \: y_C - y_D) = (x_C - 1; \: - 6 - (-6)) = (x_C - 1; \: 0),$

$|\vec{DC}| = \sqrt{ ({x_{DC})}^{2} + {(y_{DC})}^{2} } = \sqrt{ { (x_C - 1) }^{2} + {0}^{2} } = \sqrt{ { (x_C - 1) }^{2} } = x_C - 1$

Рассмотрим треугольник $ACD$ — он прямоугольный. Воспользуемся Теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

${AC}^{2} = {AD}^{2} + {DC}^{2}$

${(|\vec{AC} |)}^{2} = {(|\vec{AD} |)}^{2} + {(|\vec{DC}|)}^{2}$

${17}^{2} = {8}^{2} + {(x_C - 1)}^{2}$

${(x_C - 1)}^{2} = {17}^{2} - {8}^{2} = 289 - 64 = 225 = {15}^{2}$

$x_C - 1 = 15$

$x_C = 15+1 = 16$

=> $x_C = x_B = 16$

=> $B(16 ; 2), \: C(16 ; - 6)$

Ответ: $B(16 ; 2), \: C(16 ; - 6)$