Question

Найти объем тетраэдра и его высоту, опущенную из вершины на грань.

Answer 1

Ответ:

$A_1(1;1;1)\ \ ,\ \ A_2(3;4;0)\ \ ,\ \ A_3(-1;5;6)\ \ ,\ \ A_4(4;0;5)\\\\\overline{A_1A_2}=(2;3;-1)\ \ ,\ \ \overline{A_1A_3}=(-2;4;5)\ \ ,\ \ \overline{A_1A_4}=(3;-1;4)\\\\\\{}[\, \overline{A_1A_2}\times \overline{A_1A_3}\, ]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&3&-1\\-2&4&5\end{array}\right|=\vec{i}\, (15+4)-\vec{j}\, (10-2)+\vec{k}\, (8+6)=\\\\=19\vec{i}-8\vec{j}+14\vec{k}\\\\\\S(A_1A_2A_3)=\sqrt{19^2+8^2+14^2}=\sqrt{621}$

$V=(\overline{A_1A_4}\, ;\, \overline{A_1A_2}\, ;\, \overline{A_1A_3})=\left|\begin{array}{ccc}3&-1&4\\2&3&-1\\-2&4&5\end{array}\right|=\\\\\\=3\, (15+4)+1\, (10-2)+4\, (8+6)=3\cdot 19+8+4\cdot 14=121$

$V=\dfrac{1}{3}\cdot Sh\ \ \Rightarrow \ \ \ h=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\sqrt{621}}{121}$