Question

В треугольнике ABC отрезок AD, проведенный из вершины A к стороне BC, делит последнюю в отношении 2:3. Из вершины B к стороне AC проведен отрезок BE, который пересекается с отрезком AD в точке Q так, что BQ = 2QE. Найти, в каком отношении точка E делит сторону AC.

Answer 1

Ответ:

АЕ : ЕС = 1 : 2

Объяснение:

Проведем BF║AС.

ΔBFD ~ ΔCAD по двум углам (∠BFD = ∠CAD как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BF и АС секущей AF,  углы при вершине D равны, как вертикальные).

$\dfrac{BF}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{2}{3}$

$BF=\dfrac{2AC}{3}=\dfrac{2b}{3}$

ΔBQF ~ ΔEQA по двум углам (∠BFQ = ∠EAQ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BF и АС секущей AF, углы при вершине Q равны как вертикальные)

$\dfrac{BF}{AE}=\dfrac{BQ}{QE}=\dfrac{2}{1}$

$AE=\dfrac{BF}{2}=\dfrac{2b}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{b}{3}$

$EC=AC-AE=b-\dfrac{b}{3}=\dfrac{2b}{3}$

$\boldsymbol{\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}}$

______________________________________________

Задачу можно решить проще, применив теорему Менелая для ΔЕВС:

$\dfrac{EQ}{QB}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot \dfrac{CA}{AE}=1$

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{AC}{CE}=1$

$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{3}{1}$

Отсюда следует, что

$\boldsymbol{\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}}$