У лютому 2001 року космічний апарат NEAR вперше здійснив м'яку посадку на астероїд Ерос. Швидкість опускання апарата на поверхню Ероса склала 2 м/с. Якби удар виявився пружний, то на яку висоту підстрибнув би апарат від удару? Для спрощення розрахунків вважати астероїд кулею з діаметром 30 км і середньою густиною речовини р= 3000 кг/м³
Ответы
Ответ: После упругого удара аппарат подпрыгнул бы на высоту 158,98 м.
Объяснение: При абсолютно упругом ударе скорость аппарата после удара будет равна скорости опускания аппарата на поверхность астероида до удара, т.е. будет равна 2 м/с. После удара кинетическая энергия аппарата Ек = mU²/2. Здесь m – масса аппарата; U – скорость аппарата после удара (скорость отскока). Поднявшись на искомую высоту h аппарат приобретет потенциальную энергию Еп, при этом Ек станет равна нулю. Е п = m*ga*h. Здесь ga – ускорение свободного падения на астероиде Эрос; h - искомая высота, на которую подпрыгнул бы аппарат. Так как вся кинетическая энергия перешла в потенциальную, то можно записать уравнение: Ек = Еп, или mU²/2 = m*ga*h. Так как в левой и правой части выражения сожержится m , то данное выражение можно сократить на m. Имеем U²/2 = ga*h. Отсюда h = U²/2ga. Но ga нам не известно и его надо найти. В общем случае ускорение свободного падения на небесном теле, имеющем форму шара или близкую к ней, определяется выражением g = G*M/R², здесь G – гравитационная постоянная =6,674*10^-11; M – масса небесного тела; R - радиус небесного тела.
В нашем случае gа = G*Mа/Rа², здесь Mа – масса астероида; Rа – радиус астероида = 15 км = 15000 м. Масса астероида Ма = Vа*ρ, здесь Vа - объем астероида = 4π Rа³/3; ρ – плотность вещества астероида =3000 кг/м³. Таким образом, Ма = 4π*Rа³*ρ/3. Теперь можно записать чему равно ускорение свободного падения на астероиде, gа = G*4π*Rа³*ρ/3Rа² = G*4π*Rа*ρ/3. Тогда h = U²/2ga = 3U²/2G*4π*Rа*ρ. Подставив в эту формулу числовые значения параметров имеем h = 3*2²/2*6,674*10^-11*4*3,1415*15000*3000 = 158,98 м.