Question

Знайдіть усі значення параметра а, за яких рівняння має рівно один розв'язок у дійсних числах. СРООООООЧНОООООО 100 балов!!!

4ˣ+a*2^(x+2)=2^(x-1)+2a

Answer 1

Ответ:

a > 0

Пошаговое объяснение:

Сгруппируем подобные члены:

$4^{x}+a*2^{x+2}=2^{x-1}+2a\\4^{x}+4a*2^{x}-\frac{1}{2}2^{x}-2a=0\\2^{2x}+2^x(4a-\frac{1}{2})-2a=0$

Сделаем замену $t=2^{x}>0$

С учетом замены задача переформулируется следующим образом: найти все значения параметра a, при которых квадратное уравнение имеет один положительный корень.

$t^{2}+t(4a-\frac{1}{2})-2a=0$

По теореме Виета $x_{1}=-4a,x_{2}=\frac{1}{2}$

Чтобы у исходного уравнения был единственный корень необходимо, чтобы в уравнении с заменой был один положительный корень. Т.к. второй корень уже положителен, то первый должен быть отрицательным:

$-4a<0\\a>0$