Question

Помогите решить систему уравнений

Answer 1

Ответ:     ( 94 ; 25 ) .  

Пошаговое объяснение:

{ x + 2y - 24√( x + 2y ) + 144 = 0 ,   ⇒    { [ √ ( x + 2y ) - 12 ]² = 0 ,     ⇒

{ x - 2y = 44 ;                                           { x - 2y = 44 ;  

{  √ ( x + 2y ) - 12 = 0 ,     ⇒     {  √ ( x + 2y ) = 12 ,     ⇒    { x + 2y  = 144 ,

{ x - 2y = 44 ;                            { x - 2y = 44 ;                     { x - 2y = 44 ;

додаємо рівняння останньої сист . рівнянь :

2х = 188 ;    ---->    x = 188 : 2 ;    ----->   x = 94 ;  

із першого рівняння  x + 2y = 144  маємо :  

94 + 2y = 144 ;  ---->   2y = 144 - 94 ;  ---->  2y = 50 ;  ----> y = 50 : 2 ; y = 25 .

Перевірка . ( 94 ; 25 ) :  { 94+2*25 -24√( 94+2*25 )+ 144 = 0 , - правильно

                                        {  94 - 2*25 = 44 ; - правильно .

В - дь :   ( 94 ; 25 ) .  

Answer 2

$\begin{equation*}\begin{cases}x + 2y - 24\sqrt{x + 2y} + 144 = 0\\x - 2y = 44\end{cases}\end{equation*}$

Решать систему будем методом подстановки. В нижнем уравнении системы выразим $x$ через $y$.

$\begin{equation*}\begin{cases}x + 2y - 24\sqrt{x + 2y} + 144 = 0\\x= 44 + 2y\end{cases}\end{equation*}$

Теперь подставим получившееся в верхнее уравнение системы.

$\begin{equation*}\begin{cases}44 + 2y + 2y - 24\sqrt{44 + 2y + 2y} + 144 = 0\\x = 44 + 2y\end{cases}\end{equation*}$

И далее упрощаем.

$\begin{equation*}\begin{cases}44 + 4y - 24\sqrt{44 + 4y} + 144 = 0\\x = 44 + 2y\end{cases}\end{equation*}$

Теперь решим верхнее уравнение системы отдельно.

$44 + 4y - 24\sqrt{44 + 4y} + 144 = 0$

Введём замену: $44 + 4y = t$ .

$t - 24\sqrt{t} + 144 = 0\\\\t + 144 = 24\sqrt{t}$

Возведём обе части уравнения в квадрат.

$\left(t+144\right)^2 = \left(24\sqrt{t}\,\right)^2\\\\t^2 + 288t + 20736 = 576t\\\\t^2 - 288t + 20736 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = (-288)^2 - 4\cdot 1\cdot 20736 = 82944 - 82944 = 0\\\\t = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-288}{2} = -(-144) = \boldsymbol{144}$

Выполним проверку:

$t - 24\sqrt{t} + 144 = 0\\\\144 - 24\sqrt{144} + 144 = 0\\\\12\cdot 12 - 24\cdot 12 + 144 = 0\\\\12\left(12-24\right) + 144 = 0\\\\12\cdot (-12) + 144 = 0\\\\- 144 + 144 = 0\\\\0 = 0$

Выяснили, что 144 действительно является корнем данного уравнения. Выполняем обратную замену:

$44 + 4y = t\\\\y = \dfrac{t-44}{4} = \dfrac{144-44}{4} = \dfrac{100}{4} = \boldsymbol{25}$

$y$ нашли, возвращаемся к $x$, который мы уже выразили.

$x = 44 + 2y = 44 + 2\cdot 25 = 44 + 50 = \boldsymbol{94}$

Получили следующие значения, которые являются решением системы:

$\begin{equation*}\begin{cases}x = 94\\y = 25\end{cases}\end{equation*}$

Ответ: $\boldsymbol{\left(94,\ 25\right)}$ .