Question

Вычислите значение выражения
(1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16) … (1-1/400)

ПРОШУ, ПОМОГИТЕЕЕЕ!!

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{21}{40}$

Пошаговое объяснение:

Каждый множитель имеет вид $1-\dfrac{1}{n^2}$. Преобразуем его: $1-\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{n^2-1}{n^2}=\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2}$. Распишем произведение в соответствии с преобразованием: $\dfrac{1\cdot3}{2\cdot2}\cdot\dfrac{2\cdot4}{3\cdot3}\cdot\dfrac{3\cdot5}{4\cdot4}\cdot\dfrac{4\cdot6}{5\cdot5}\cdot\ldots\cdot\dfrac{18\cdot20}{19\cdot19}\cdot\dfrac{19\cdot21}{20\cdot20}$

Заметим, что знаменатель n-ного множителя сокращается крайними числами n-1-го и n+1-го числителей. Тогда остаются в знаменателе первого множителя остаётся 2 (не хватает двойки слева для сокращения), в знаменателе последнего — 20 (не хватает двадцатки справа), в числителе первого — 1 (ничего не сокращает слева), в числителе последнего — 21 (ничего не сокращает справа). Получаем выражение $\dfrac{1\cdot21}{2\cdot20}=\dfrac{21}{40}$